Estudio y análisis de la teoria Wavelet enfocado al tratamiento de señales unidimensionales

Abstract

Dentro de los métodos de análisis de señales que se aplican en la actualidad, la Transformada Wavelet es uno de los más recientes. Aunque fue implementada por primera vez a mediados del siglo XX, sus bases como una herramienta matemática completa no fueron desarrolladas hace más de 20 años. Una de sus características más importantes es que esta herramienta fue creada desde la necesidad de las ciencias aplicadas para solucionar problemas en los cuales otras herramientas matemáticas se quedan cortas. Sus primeros desarrollos fueron en hechos en la geología y física nuclear, los matemáticos toman esta herramienta y establecen las bases necesarias para que se expanda a otras áreas, incluyendo el procesamiento de señales. La teoría Wavelet se desarrolla matemáticamente en operaciones sobre espacios vectoriales, principalmente en el espacio de Hilbert, por tanto se introduce el siguiente documento haciendo énfasis en las características de los espacios vectoriales, bases ortogonales y ortonormales. En una segunda sección se establece una conceptualización de la Transformada de Fourier de manera intuitiva, su relación y definición sobre espacios vectoriales y análisis tiempo frecuencia; así se presenta este tipo de análisis como un método introductorio a la Transformada Wavelet. En la tercera sección se hace referencia directa a la Transformada en su proceso continuo, semidiscreto, por frames y discreto, en la cual se determina de la forma más intuitiva posible la transición entre cada uno de ellos. Cabe destacar que tanto la Transformada Wavelet y la Transformada Wavelet Diádica presentan resultados de análisis con gran cantidad de detalles; sin embargo, estas son un análisis tiempo-escala que entrega información redundante reduciendo la efectividad del procesamiento; hecho tal, que puede ser solucionado mediante la discretización de la Transformada Wavelet a través del análisis multiresolución en la denominada Transformada Wavelet Discreta.

Of all signal analysis methods applied nowadays, the Wavelet Transform is one of the newest. Although this method was implemented in the middle of XX century, its mathematical bases weren’t developed more than 20 years ago. One of the most important characteristics of this tool is it was made from applied sciences needs for solve problems in which another mathematical tools can’t resolve. The firsts developments of this method were made in geology and nuclear physic, after that, mathematicians took this tool and establish the necessary bases to expand it to other areas of knowledge, including signal processing. The Wavelet Theory is mathematically developed over vectorial spaces, mainly in Hilbert space. In that way, this document introduces Wavelet Transform empathizing the characteristics of vectorial spaces, orthonormal and orthogonal bases. The second section defines the Fourier Transform intuitively in vectorial spaces and time-frequency analysis, this method is showed like an introductory process to Wavelet Transform. Third section makes reference to the Wavelet Transform in continuous, semi-discrete, frames and discrete process and the relation between these. The Continuous Wavelet Transform and Diadic Wavelet Transform show information with a huge details quantity; however, these are scale-frequency analysis which give redundant information reducing in that way the performance of processing. This issue can be solved by way of the Wavelet Transform discretization through the multi-resolution analysis called Discete Wavelet Transform.